回転行列 - 座標を回転させる

Yolieです。皆さんはじめまして、今回初投稿になります。 今回は回転行列について扱っていこうと思います。なぜ突然回転行列の話題かというとただ単に大学の課題で出てきたからですね。 すごく単純です。ではどういう式なのか見てみます。 \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} \cos θ & -\sin θ \newline \sin θ & \cos θ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right] ...(1) \end{equation} という式です。 何が美味しいのかというと座標をθだけ回転した新たな座標を得ることが出来ます。 これは素晴らしい発見です。なんせ、高校数学ではベクトルは引き伸ばすくらいしか操作出来なかったので、回転を扱えると描ける範囲がぐっと広がるはずです。 導出は非常にeasyです。加法定理と極座標の知識があれば導けます。 極座標では(x,y)をrとθで考えます。次の式です。 \begin{equation} x = r \cos θ ...(2) \end{equation}

\begin{equation} y = r \sin θ ...(3) \end{equation} では次に、αだけ回転させましょう。 \begin{equation} x = r \cos (θ + \alpha) ...(4) \end{equation}

\begin{equation} y = r \sin (θ + \alpha) ...(5) \end{equation} (4)、(5)には加法定理が適応できそうです。そうすることで、θとαを分解できます。

\begin{equation} r \cos (θ + \alpha) = r(\cos θ \cos \alpha - \sin θ \sin \alpha) ...(6) \end{equation}

\begin{equation} r \sin (θ + \alpha) = r(\sin θ \cos \alpha + \cos θ \sin \alpha) ...(7) \end{equation} (2)、(3)も合わせると次が言えます。 \begin{equation} r \cos (θ + \alpha) = x \times r\cos \alpha - y \times \sin \alpha ...(8) \end{equation}

\begin{equation} r \sin (θ + \alpha ) = y \times \cos \alpha + x \times \sin \alpha ...(9) \end{equation} (8)、(9)は回転後のそれぞれの(x. y)の座標をしてしている。ただベクトルからベクトルの変換ほ方が見通しが良い。 なので行列を使おう。そうすることで回転行列が得る。 \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \newline \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \cos \alpha - y \sin \alpha \newline y \sin \alpha + y \cos \alpha \end{array} \right] ... Fin \end{equation}

これでα回転したベクトルが表現できました。 非常に便利です。(^^)